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【题目描述】

有n个大于1的正整数a1,a2,…,an，我们知道斐波那契数列的递推式是f(i)=f(i-1)+f(i-2)，现在我们修改这个递推式变为f(i)=f(i-1)+f(i-2)+r(i-1)，其中r(x)为a1,a2,…,an中为x的约数的个数。现在要求f(m) mod 19940417的值。注：初值f(1)=1,f(2)=1

输入格式：

第一行两个数n,m。

接下来一行n个正整数a1,a2,…,an。

输出格式：

输出一行仅一个数，f(m) mod 19940417的值。

样例输入：

3 7

2 2 3

样例输出：

33

数据范围：

30%的数据n<=1000,m<=1000

另外20%的数据 n=0,m<=109 

100%的数据n<=100000,m<=109，2<=ai<=109

 

题解：

　　对于100%的数据，我们可以先考虑把fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2] 的答案先用矩阵快速幂跑出来。然后依次输入ai，来看每个ai对fib[m]的影响，因为fib(i)=fib(i-1)+fib(i-2)+r(i-1)，所以每一个ai，在它k倍(k*ai<=M)的地方的斐波那契值都会产生+1的影响。我们考虑如果对于斐波那契数列的第i项我们对它加一个1并且继续进行后面的递推的话，那么第j项(j>i)的值就是fib[j]+fib[j-i+1]。所以实际上我们可以对于每个ai分别处理，对于ai，它会给最后的答案贡献fib[m mod ai]+fib[ai+(m mod ai)]+…保证[]内的值小于等于m。

　　但如果只是一个一个让答案加上fib[k*ai+(m%ai)]，还是会超时，肯定要用到矩阵快速幂来优化，假设我们让B为表示fib[m%ai]的矩阵，那么f[k*ai+(m%ai)]可以表示为B*A^k*ai，然后解决的就是SUM = (A + A^2 + A^3 + ... + A^B)%C的问题()。

1 #include 
     
       2 #include 
      
        3 using namespace std; 4 typedef long long LL; 5 const int mod=19940417; 6 struct mat { 7     int a,b,c,d; 8 }ZR,E,F,Ans; 9 int n,m;10 mat pre[33],pw[33];11 mat operator*(mat X,mat Y) {12     mat Z;13     Z.a=((LL)X.a*Y.a+(LL)X.b*Y.c)%mod;14     Z.b=((LL)X.a*Y.b+(LL)X.b*Y.d)%mod;15     Z.c=((LL)X.c*Y.a+(LL)X.d*Y.c)%mod;16     Z.d=((LL)X.c*Y.b+(LL)X.d*Y.d)%mod;17     return Z;18 }19 mat operator+(mat X,mat Y) {20     mat Z;21     Z.a=(X.a+Y.a)%mod;22     Z.b=(X.b+Y.b)%mod;23     Z.c=(X.c+Y.c)%mod;24     Z.d=(X.d+Y.d)%mod;25     return Z;26 }27 mat fpm(mat a,int b) {28     mat w=E;29     while(b){30         if(b&1) w=w*a;31         a=a*a;32         b>>=1;33     }34     return w;35 }36 mat vsum(int n){37     if(n==0) return ZR;38     if(n==1) return E;39     int m=1,t=0;40     while(m<=n) m<<=1,++t;41     m>>=1,--t;42     return pre[t]+pw[t]*vsum(n-m);43 }44 void prepare(mat A){
   //A矩阵是系数矩阵的ai次方 45     for(int i=0;i<=30;++i){46         if(i==0) pw[i]=A;47         else pw[i]=pw[i-1]*pw[i-1];48         if(i==0) pre[i]=E;//单位矩阵 49         else pre[i]=pre[i-1]*(E+pw[i-1]);50     }51 }52 mat solve(int d) {53     if(d>=m) return ZR;54     int k=(m-1)/d;55     prepare(fpm(F,d));56     return fpm(F,m-1-k*d)*vsum(k);57 }58 int main() {59 //    freopen("fib.in" , "r", stdin);60 //    freopen("fib.out", "w", stdout);61     scanf("%d%d",&n,&m);62     if(m<=2){63         printf("1\n");64         return 0;65     }66     E.a=E.d=1;67     F.a=F.b=F.c=1;68     Ans=Ans+fpm(F,m-1);//先算出纯 fib序列 69 70     for(int i=1;i<=n;++i){
   // 71         int x;72         scanf("%d",&x);73         Ans=Ans+solve(x);74     }75     printf("%d\n",Ans.a);76 }